13. Η συνάρτηση y=α/x - Η υπερβολή – Μαθηματικά Γυμνασίου & Λυκείου

1 Η συνάρτηση της μορφής \(y = \dfrac{α}{x}\) - Η υπερβολή.

1.1 Ποσά αντιστρόφως ανάλογα

Θεωρία και Ορισμοί

Ορισμός: Δύο συμμεταβλητά ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα (ή απλώς αντίστροφα), όταν οι αντίστοιχες τιμές που παίρνουν έχουν πάντοτε το ίδιο γινόμενο.
Συνάρτηση: Η μαθηματική σχέση που συνδέει δύο αντιστρόφως ανάλογα ποσά \(x\) και \(y\) εκφράζεται από τον τύπο \(y = \dfrac{\alpha}{x}\) ή \(x \cdot y = \alpha\), όπου ο σταθερός αριθμός \(\alpha\) ονομάζεται συντελεστής αναλογικότητας.
Πεδίο Ορισμού: Για τη συνάρτηση αυτή, το \(x\) πρέπει να είναι διάφορο του μηδενός (\(x \neq 0\)), καθώς η διαίρεση με το μηδέν είναι αδύνατη.

Ιδιότητες

Ιδιότητα Πολλαπλασιασμού: Όταν η τιμή του ενός ποσού πολλαπλασιάζεται επί έναν αριθμό, η αντίστοιχη τιμή του άλλου ποσού διαιρείται με τον ίδιο αριθμό.
Λόγος Τιμών: Ο λόγος δύο τυχαίων τιμών του ενός ποσού είναι ίσος με τον αντίστροφο λόγο των αντίστοιχων τιμών του άλλου ποσού (\(\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_2}{y_1} \ \ \ η \ \ \ \ x_1\cdot y_1=x_2 \cdot y_2\)).
Σταθερό Γινόμενο: Σε κάθε ζεύγος αντίστοιχων τιμών, το γινόμενό τους \(x \cdot y\) παραμένει σταθερό και ίσος με τον συντελεστή \(\alpha\) .

Παραδείγματα

Ταχύτητα και Χρόνος: Σε μια σταθερή διαδρομή, η ταχύτητα ενός κινητού και ο χρόνος που απαιτείται για να τη διανύσει είναι ποσά αντίστροφα.
Εργάτες και Χρόνος: Ο αριθμός των εργατών (ίδιας απόδοσης) και ο χρόνος που χρειάζονται για να τελειώσουν ένα συγκεκριμένο έργο .
Γεωμετρία (Ορθογώνιο): Η βάση και το ύψος ενός ορθογωνίου που έχει σταθερό εμβαδόν (π.χ. \(24 \text{ cm}^2\)) .
Αγοραστική Δύναμη: Η ποσότητα ενός εμπορεύματος που μπορούμε να αγοράσουμε με ένα συγκεκριμένο χρηματικό ποσό και η τιμή μονάδας του εμπορεύματος.
Αριθμητικό παράδειγμα: Η συνάρτηση \(y = \dfrac{4}{x}\), όπου για \(x=2\) έχουμε \(y=2\) και για \(x=4\) έχουμε \(y=1\) (το γινόμενο είναι πάντα 4) .

Ασκήσεις

Συμπληρώστε τον πίνακα τιμών για τη συνάρτηση \(xy = -10\) για \(x = 1, 2, 3, 4, 6\).
Εξετάστε αν το μήκος και το πλάτος ενός υφάσματος (με σταθερό εμβαδόν) είναι ποσά ανάλογα ή αντίστροφα.
Βρείτε τον συντελεστή αναλογικότητας \(\alpha\), αν για \(x=3\) η αντίστοιχη τιμή είναι \(y=5\).
Αν 5 εργάτες τελειώνουν ένα έργο σε 9 ημέρες, σε πόσες ημέρες θα το τελειώσουν 3 εργάτες;.
Ποια είναι η συνάρτηση που συνδέει τη βάση \(x\) και το ύψος \(y\) ενός ορθογωνίου με εμβαδόν \(12 \text{ m}^2\);
Ένα αυτοκίνητο με ταχύτητα \(60 \text{ km/h}\) διανύει μια απόσταση σε 4 ώρες. Πόσο χρόνο θα χρειαστεί αν τρέχει με \(80 \text{ km/h}\); (Βασισμένο στην ιδιότητα του σταθερού γινομένου).
Μοίρασε τον αριθμό 270 σε μέρη αντιστρόφως ανάλογα προς τους αριθμούς 3, 4 και 6.
Αν μια ποσότητα λαδιού επαρκεί για 30 ημέρες με κατανάλωση \(2 \text{ kg/ημέρα}\), για πόσες ημέρες θα επαρκέσει αν η κατανάλωση γίνει \(1,5 \text{ kg/ημέρα}\);
Ελέγξτε αν οι αριθμοί \(A=\{6, 3, 2\}\) και \(B=\{4, 8, 12\}\) είναι αντιστρόφως ανάλογοι.
Γράψτε την εξίσωση που δηλώνει ότι η μεταβλητή \(\omega\) είναι αντιστρόφως ανάλογη της \(x\) με συντελεστή 8.

1.2 Η υπερβολή (Γραφική παράσταση)

Θεωρία και Ορισμοί

Ορισμός: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(y = \dfrac{\alpha}{x}\) (όπου \(\alpha \neq 0\)) ονομάζεται υπερβολή.
Μορφή: Αποτελείται από δύο χωριστές καμπύλες γραμμές που ονομάζονται κλάδοι της υπερβολής.
Θέση: Αν ο συντελεστής \(\alpha\) είναι θετικός, οι κλάδοι βρίσκονται στο \(1^ο\) και \(3^ο\) τεταρτημόριο των αξόνων ενώ αν το α είναι αρνητικό βρίσκονται στο \(2^ο\) και \(4^ο\) τεταρτημόριο.

Ιδιότητες

Συμμετρία: Η υπερβολή έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων \(O(0,0)\).
Ασύμπτωτη συμπεριφορά: Οι κλάδοι της υπερβολής πλησιάζουν τους άξονες \(x'x\) και \(y'y\) όσο θέλουμε, αλλά δεν τους τέμνουν ποτέ (γιατί το \(x\) και το \(y\) δεν μπορούν να γίνουν μηδέν).
Μη γραμμικότητα: Σε αντίθεση με τα ανάλογα ποσά, η υπερβολή δεν είναι ευθεία γραμμή.
Σταθερό Εμβαδόν: Κάθε σημείο της υπερβολής ορίζει με τους άξονες ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με σταθερό εμβαδόν ίσο με \(|\alpha|\).

Συμβουλή

Αλλάξτε την τιμή του δρομέα α (κλίκ και σύρτε)

Τι συμβαίνει όταν το α είναι θετικό;
Τι συμβαίνει όταν το α είναι αρνητικό;

Εξετάστε αν ισχύουν όσα αναφέραμε παραπάνω για τα χαρακτηριστικά της υπερβολής.

Παραδείγματα

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(y = \dfrac{4}{x}\) με κλάδους στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο.
Η καμπύλη που προκύπτει από τη σχέση \(xy = 12\) για θετικές τιμές του \(x\).
Η γραφική παράσταση της σχέσης ταχύτητας-χρόνου για σταθερή απόσταση.
Η υπερβολή της συνάρτησης \(y = -\dfrac{12}{x}\) που διέρχεται από τα σημεία \((-1,12), (-2,6), (-3,4)\).
Η γραφική απεικόνιση της κατανάλωσης ρεύματος σε σχέση με τις ώρες λειτουργίας για σταθερό κόστος.

Ασκήσεις

Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \(y = \dfrac{2}{x}\) για \(x > 0\).
Προσδιορίστε σε ποια τεταρτημόρια βρίσκεται η υπερβολή \(y = \dfrac{\alpha}{x}\) αν \(\alpha < 0\).
Βρείτε αν το σημείο \((2, 4)\) ανήκει στην υπερβολή \(y = \dfrac{8}{x}\).
Σχεδιάστε τους δύο κλάδους της υπερβολής \(y = \dfrac{1}{x}\) χρησιμοποιώντας τις τιμές \(x = \{1, 2, 4, -1, -2, -4\}\).
Εξηγήστε γιατί η υπερβολή δεν τέμνει ποτέ τον άξονα των τεταγμένων.
Από τη γραφική παράσταση της \(y = \dfrac{12}{x}\), βρείτε την τιμή του \(y\) όταν \(x = 8\).
Δείξτε γραφικά ότι η υπερβολή \(y = \dfrac{40}{x}\) έχει κέντρο συμμετρίας το \(O(0,0)\).
Σχεδιάστε την υπερβολή \(y = \dfrac{5}{x}\) για το πεδίο ορισμού \(X = \{-5, -3, -1, 1, 3, 5\}\).
Ποιο γεωμετρικό σχήμα σχηματίζουν οι εικόνες των διατεταγμένων ζευγών της συνάρτησης \(xy = \alpha\);
Χρησιμοποιώντας τη γραφική παράσταση της \(y = \dfrac{12}{x}\), βρείτε το \(x\) που αντιστοιχεί σε \(y = -1,5\).

1.3 Παραδείγματα & Ασκήσεις για Εξάσκηση

1. Συμπλήρωση Πίνακα Τιμών Αν γνωρίζεις ότι τα ποσά \(x\) και \(y\) είναι αντιστρόφως ανάλογα και για \(x = 3\) η τιμή είναι \(y = 4\), να συμπληρώσεις τις υπόλοιπες τιμές:

Όταν \(x = 1\), τότε \(y = ?\) (Απάντηση: 12)
Όταν \(x = 2\), τότε \(y = ?\) (Απάντηση: 6)
Όταν \(x = 6\), τότε \(y = ?\) (Απάντηση: 2)

2. Πρόβλημα Παραγωγής (Εργοστάσιο) Σε ένα εργοστάσιο, 12 μηχανές λειτουργούν για 15 ώρες για να βγάλουν την ημερήσια παραγωγή. Αν 2 μηχανές τεθούν εκτός λειτουργίας, πόσες ώρες πρέπει να δουλέψουν οι υπόλοιπες 10 μηχανές;

Σκέψη: Ο αριθμός των μηχανών και ο χρόνος είναι ποσά αντιστρόφως ανάλογα.
Λύση: \(12 \cdot 15 = 10 \cdot x \Rightarrow 180 = 10x \Rightarrow x = 18\) ώρες.

3. Γεωμετρικό Παράδειγμα Ένα παραλληλόγραμμο έχει σταθερό εμβαδόν \(6 \, \text{m}^2\). Πώς μεταβάλλεται το ύψος (\(y\)) σε σχέση με τη βάση (\(x\));

Σχέση: \(x\cdot y = 6\). Αν η βάση διπλασιαστεί, το ύψος θα πρέπει να υποδιπλασιαστεί για να μείνει το εμβαδόν ίδιο.

4. Φυσική (Κίνηση): Η απόσταση δύο πόλεων είναι \(80\) km. Αν ένας ποδηλάτης καλύπτει την απόσταση σε χρόνο \(t\) με ταχύτητα \(υ\), να συμπληρώσετε τις τιμές της ταχύτητας για \(t = 1, 2, 4\) και \(10\) ώρες.

block-beta
  
  block:group
  columns 5
    a["t"] b["1 ώρα"] c["2 ώρες"] d["4 ώρες"] e["10 ώρες"] 
    k["υ"] l["   "] m["  "] n["  "] p["  "] 
    f["S"] g["80 km"] h["80 km"] s[" 80 km "] t[" 80 km"]
  end

5. Συμπλήρωση Πίνακα: Αν γνωρίζετε ότι τα ποσά \(x\) και \(y\) είναι αντιστρόφως ανάλογα με σταθερό γινόμενο \(24\), να βρείτε τις τιμές του \(y\) για \(x = -2, \quad0,5\quad , 2, 8\) και \(12\).

block-beta
  
  block:group
  columns 6
    a["  x  "] b["-2"] c["0,5"] d["2"] p["8"] e["12"] 
    k["  y  "] l["   "] m["  "] n["  "] o["  "] q["  "] 
    f["xy"] g["24"] h["   24  "] s[" 24 "] t["  24 "] r["  24 "]
  end

6. Αγροτική Οικονομία (Πότισμα): Ένα σύστημα ποτίσματος καταναλώνει το νερό μιας δεξαμενής σε \(30\) ημέρες, αν λειτουργεί \(3\) ώρες την ημέρα. Αν λειτουργεί \(5\) ώρες την ημέρα, για πόσες ημέρες θα επαρκέσει το νερό;.

7. Ταχύτητα & Χρόνος: Ένα αυτοκίνητο διανύει μια απόσταση σε \(30\) λεπτά με ταχύτητα \(90\) km/h. Πόσο πρέπει να αυξήσει την ταχύτητά του για να καλύψει την ίδια απόσταση σε \(25\) λεπτά;

8. Συσκευασία Προϊόντων: Ένας μελισσοκόμος γεμίζει \(200\) βάζα των \(450\) g. Αν χρησιμοποιήσει βάζα των \(750\) g, πόσα βάζα θα χρειαστεί για την ίδια ποσότητα μελιού;

9. Θεωρία Υπερβολής: Για τη συνάρτηση \(y = \dfrac{3}{x}\), σε ποια τεταρτημόρια βρίσκονται οι κλάδοι της και ποιο είναι το κέντρο συμμετρίας της;

10. Πρόβλημα Τύπου: Αν τα ποσά \(x\) και \(y\) είναι αντιστρόφως ανάλογα και για \(x = 3\) είναι \(y = 4\), να βρείτε την τιμή του \(y\) όταν το \(x = 12\).

11. Έλεγχος Σχέσης: Ο Απόστολος παρατήρησε ότι τη Δευτέρα είδε τηλεόραση \(1,5\) ώρα και διάβασε \(1,5\) ώρα, ενώ την Τρίτη είδε \(2\) ώρες και διάβασε \(1\) ώρα. Είναι τα ποσά «χρόνος τηλεόρασης» και «χρόνος διαβάσματος» αντιστρόφως ανάλογα; Αιτιολογήστε με βάση το γινόμενό τους.

Στο ίδιο σύστημα αξόνων να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

\(y=-\dfrac{4}{x}\)
\(y=\dfrac{4}{x}\)

x	\(y=-\dfrac{4}{x}\)		x	\(y=\dfrac{4}{x}\)
-4			-4
-2			-2
-1			–1
1			1
2			2
4			4

Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω πίνακες είναι πίνακες αντιστρόφως ανάλογων ποσών

block-beta
  
  block:group
  columns 6
    a["  x  "] b["-4"] c["0,5"] d["3"] p["5"] e["8"] 
    k["  y  "] l["  3 "] m["-24  "] n[" -4 "] o[" -2,4 "] q[" -2,25 "] 
    
  end

block-beta
  
  block:group
  columns 6
    a["  x  "] b["-8"] c["-2"] d["2"] p["8"] e["10"] 
    k["  y  "] l["  -2 "] m["-8  "] n["10  "] o["-2  "] q["5  "] 
    
  end

block-beta
  
  block:group
  columns 6
    a["  x  "] b["-6"] c["-4"] d["2"] p["3"] e["12"] 
    k["  y  "] l["  -7 "] m["10,5  "] n["21  "] o[" 14  "] q[" 3,5 "] 
    
  end

Συμπλήρωση πίνακα τιμών Δίνεται η συνάρτηση \(y=\dfrac{2}{x}\).
Να συμπληρώσεις τον πίνακα:

x	-4	-2	-1	1	2	4
y

Εύρεση του \(α\) από ένα ζευγάρι τιμών Για τη συνάρτηση \(y=\dfrac{a}{x}\) ισχύει ότι όταν \(x=5\), τότε \(y=4\).
Να βρεις το \(α\).
Εύρεση του \(y\) για δοσμένο \(x\) Δίνεται \(y=\dfrac{a}{x}\) με \(α=30\).
Να βρεις το \(y\) όταν \(x=2\), \(x=3\), \(x=10\).
Εύρεση του \(x\) για δοσμένο \(y\) Δίνεται η συνάρτηση \(y=\dfrac{20}{x}\).
Να βρεις το \(x\) όταν \(y=8\) και όταν \(y=4\).
Έλεγχος αν ένα σημείο ανήκει στη γραφική παράσταση Δίνεται \(y=\dfrac{18}{x}\).
Να εξετάσεις αν τα σημεία \(A(3,6)\), \(B(2,8)\), \(Γ(9,2)\) ανήκουν στη γραφική παράσταση.
Σύγκριση τιμών (αντιστροφή συμπεριφοράς) Δίνεται \(y=\dfrac{40}{x}\) με \(x>0\).
Να συγκρίνεις τα \(y_1\) και \(y_2\) όταν:

\(x_1=4\) και \(x_2=8\)
\(x_1=5\) και \(x_2=10\)
και να γράψεις συμπέρασμα για το πώς αλλάζει το \(y\) όταν διπλασιάζεται το \(x\).

Αντιστρόφως ανάλογα ποσά (εργάτες – χρόνος) Για να τελειώσει μια εργασία, ο αριθμός εργατών \(n\) και ο χρόνος \(t\) (σε ώρες) είναι αντιστρόφως ανάλογα.
Αν 6 εργάτες τελειώνουν σε 10 ώρες, σε πόσες ώρες θα τελειώσουν 15 εργάτες;
Αντιστρόφως ανάλογα ποσά (ταχύτητα – χρόνος) Για μια διαδρομή σταθερού μήκους, η ταχύτητα \(υ\) και ο χρόνος \(t\) είναι αντιστρόφως ανάλογα.
Αν με ταχύτητα 60 km/h χρειάζεται 3 ώρες, πόσες ώρες θα χρειαστεί με 75 km/h;
Εύρεση τύπου από αντιστρόφως ανάλογη σχέση Δύο ποσά \(x\) και \(y\) είναι αντιστρόφως ανάλογα και όταν \(x=8\) τότε \(y=15\).
Να βρεις:

τον τύπο της συνάρτησης \(y=\dfrac{a}{x}\)
την τιμή του \(y\) όταν \(x=20\)

Πρόβλημα με “σταθερό γινόμενο” (κλασικό αντιστρόφως ανάλογο) Δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα. Όταν το πρώτο είναι 12, το δεύτερο είναι 7.
Να βρεις το δεύτερο όταν το πρώτο γίνει 21.

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !